Исследовательская работа «Системы счисления»

І региональная конференция «Юный исследователь»

Секция начальных классов
Исследовательская работа
«Системы счисления»

Автор

Федотова Мария

ученица 4 класса

МОУ Октябрьской СОШ

Г. Похвистнево

Самарской области
Научный руководитель:

Еремеева.В.В-

учитель начальных классов
2008 – 2009 учебный год.

Содержание

І. Введение.---------------------------------------------------------------------------------- стр.3

ІІ. Что такое числа?----------------------------------------------------------------------- стр. 3

ІІІ. Цифры древних цивилизаций

3.1.Египет и Месопотамия. --------------------------------------------------------------- стр 4

3.2.Китай.--------------------------------------------------------------------------------------- стр 4.

3.3.Рим.------------------------------------------------------------------------------------------ стр 4.

3.4.Ацтеки и майя.---------------------------------------------------------------------------- стр 4.

3.5.Древняя Греция и Русь.---------------------------------------------------------------- стр 5.

ІV. История возникновения арабской системы счисления.

4.1.Индийские цифры.---------------------------------------------------------------------- стр 6.

4.2. Вклад мусульман в развитие нашей системы счисления.---------------- стр 6.

V. Современная система счисления.------------------------------------------------- стр 6.

VІ. Таблица сравнения цифр у разных народов.--------------------------------- стр 7.

VІІ .Заключение .

VІІІ..Практическая часть. Приложение.

7.1. Задания для теста --------------------------------------------------------------------- стр 8.

7.2 Сказка..-------------------------------------------------------------------------------------- стр 9.

І. Введение.

« Математика-наука великая, замечательнейший продукт одной из благороднейших способностей человеческого разума».

Писарев Д.И.
Часто решая задачи и примеры, я задумывалась над тем, как возникли цифры. Задав этот вопрос ребятам своего и других классов, я поняла, что точного ответа не знает никто. Когда я спросила об этом учителя, он предложил мне самой докопаться до истины. Так возникла идея создания данной работы.

Я поставила перед собой проблему : сейчас люди в большинстве стран мира пользуются арабскими цифрами, но мы не знаем, откуда они к нам пришли и почему так названы.

Цель моей работы. Составить пособие для изучения истории возникновения цифр.

Чтобы достичь цели, я решила поставить следующие задачи:

-найти и проанализировать научную литературу;

-отобрать нужный материал по данной теме;

-оформить работу;

-изготовить пособие для изучения цифр:

а)сочинить сказку о возникновении цифр;

б)составить тест «Нумерация»;

Область применения пособий: уроки математики в начальных классах.

Мне захотелось узнать, сможет ли моя работа повысить интерес к математике моих одноклассников. Для этого я провела тестирование до изучения исследовательской работы и после ее изучения.
ІІ.Что такое числа?
Числа – это выражение определенного количества. В течение тысячелетий люди использовали пальцы рук для выражения чисел. Так один предмет они показывали одним пальцем, а три – тремя.

С помощью руки они могли показывать до пяти единиц. Для выражения большего количества они использовали обе руки, а в некоторых случаях и ноги. Так, чтобы сказать шесть, они показывали одну руку и палец. Чтобы сказать десять – обе руки, а чтобы сказать двадцать – обе руки и две ноги.

«Если бы число пальцев на руках и ногах у человека было другое, иные были бы, конечно, господствующие во всем мире системы счисления; расти на руках у человека еще по одному пальцу, цивилизованные народы приняли бы за основание счета не десяток, а дюжину(12).» Ф. Кэджори

Знаменитый русский путешественник Н.Н.Миклухо-Маклай, проведший много лет среди туземцев на островах Тихого океана, обнаружил, что у некоторых племён имеется три способа счёта: для людей, для животных и для утвари, оружия и прочих неодушевлённых предметов. То есть там в то время ещё не появилось понятие числа, не было осознано, что три ореха, три козы и три ребёнка обладают общим свойствам – их количество равно трём.

Итак, появились числа 1, 2, 3, которыми можно выразить количество коров в стаде, деревья в саду, волос на голове. Эти числа впоследствии получили название натуральных. Гораздо позднее появился ноль, которым обозначали отсутствие рассматриваемых предметов.

ІІІ.Древние системы счисления.

3.1. Египет и Месопотамия.

Первые написанные цифры, о которых мы имеем достоверные свидетельства, появились в Египте и Месопотамии около 5000 лет назад. (слайд № 4)

Хотя эти две культуры находились очень далеко одна от другой, их числовые системы очень похожи: использование засечек на дереве или камне для записи прошедших дней.

Египетские жрецы писали на папирусе, изготовленном из стеблей определенных сортов тростника, а в Месопотамии – на мягкой глине. Конечно, конкретные формы их цифр были различны, но и в той, в другой культуре использовали простые черточки для единиц и другие метки для десятков и более высоких порядков. Кроме того, в обеих системах писали желаемую цифру, повторяя черточки и метки необходимое число раз.

Какими были египетские цифры?

Египтяне писали иероглифами, то есть использовали рисунки для отображения какой – либо идеи или объекта. Эти рисунки изображали элементы флоры и фауны реки Нил и домашнюю утварь. Цифры они также писали иероглифами. У египтян были знаки для обозначения чисел от 1 до 10 и специальный иероглиф для обозначения десятков, сотен тысяч,десятков тысяч, сотен тысяч, миллионов и десятков миллионов.

3.2.Какой была римская система исчисление?

Древние римляне изобрели систему исчисление, основанную на использовании букв для отображения цифр. Они использовали в своей системе следующие буквы: I. V.L.C. D. M. Каждая буква имела различное значение, каждая цифра соответствала номеру положения буквы. Для того чтобы прочесть римскую цифру, следует следовать пяти основным правилам:

1. 
   Буквы пишутся слева направо, начиная с самого большого значения. Например: XV (15), DLV (555), MCLI (1115).
   
2. 
   Буквы I. X. C и M могут повторяться до трёх раз подряд, например: II (2), XXX (30), СС (200), MCCXXX (1230).
   
3. 
   Буквы V. L. D не могут повторяться.
   
4. 
   Цифры 4, 9, 40, 90, 900 следует писать, комбинируя буквы: IV (4), IX (9), XL (40), XC (90), CD (400), CM (900). Например, 48 следует писать, комбинируя буквы XLVIII, 449 – CDXLIX
   

5. Горизонтальная линия над буквой увеличивает её значение в 1000 раз. Например, V означает 5000, CIII 103000 и IXDL 9550.(с. №6)

3.3.Какой была система исчисления у народов майя и ацтеков?

В Центральной Америке в первом тысячелетия нашей эры майя писали любое число, используя только три знака: точку, линию и эллипс.(с. № 7)

Цивилизация ацтеков пользовались системой исчисления, состоящей только из 4 знаков;

- точка или кружок для обозначения единицы (1);

- буква «h» для двадцати (20);

- перо для цифры 400 (20*20);

- мешок, наполненный зерном, для 8.000 (20*20*20).

Из – за использования малого числа знаков для написания цифры приходилось повторять много раз один и тот же знак, образуя длинный ряд символов. В документах ацтекских чиновников встречаются счета, в которых указываются результаты описи и подсчётов податей, получаемых ацтеками от покоренных городов. В этих документах можно увидеть длинные ряды знаков, похожие на настоящие иероглифы.

3.4.Какими были китайские цифры?

Палочками из слоновой кости или бамбука китайцы обозначали цифры от единицы до девяти. Цифр от единицы до пяти они обозначали количеством палочек в зависимости от номера. Так, две палочки соответствовали номеру 2. Чтобы указать цифр от шести до девяти, одна горизонтальная палочка помещалась в верхней части цифры.

3.5.Цифры в Древней Греции и на Руси.

В Древней Греции поступили очень просто: греки не стали выдумывать специальные значки для цифры, а использовали буквы. Единицу обозначали буквой А, двойку. – В, тройку Г. Вы заметили, что греческий алфавит похож на русский – в этом нет ничего удивительного, так как славянский алфавит был создан на основе греческого монахами Кириллом и Мефодиев, приверженцами «греческой», т.е. православной веры. Чтобы не путать числа с буквами, над ними ставили черточку. Вместе с алфавитом эта система записи чисел пришла в Древнюю Русь. Правда, вместо черточки на Руси ставили волнистую линию – титло.(9с. №8)

1 – Азъ 5-Есть 9-фита 2 – Въди 6-Sъло

3 – Глаголъ 7-Земля

4 – Добро 8-Иже

Древнегреческие цифры остались лишь в истории, а древнеримскими цифрами мы продолжаем пользоваться.

ІV.История возникновения современной десятичной системы счисления.

«Мы называем изобретенные индийцами цифры 1, 2, . . . , 9 и нуль арабскими, так как заимствовали их у арабов, но сами арабы называли эти цифры индийскими, а арифметику, основную на десятичной системе - «индийским счетом» (хисабал – Хинд).

4.1.Индийская нумерация.

Счет целых чисел в Индии с древних [арийских] времен носила десятичный характер. Санскрит – индоевропейский язык, Похожий на наш: 1 - эка, 2 – дви, 3 – три.

Наряду с цифровой записью в Индии широко применялась словесная система обозначения чисел, этому способствовал богатый по своему словарному запасу санскритский язык, имеющий много синонимов. При этом нуль обозначался словами “пустое”, “небо”, “дыра”; единица – предметами, имеющимися только в единственном числе: Луна, Земля; двойка – словами “близнецы”, “глаза”, “ноздри”, “губы”; четверка – словами “океаны”, “стороны света” и т. д.

Применение позиционного принципа в словесной нумерации, в котором одно и тоже слово в зависимости от места имеет разное числовое значение, а названия разрядов опускаются, зафиксировано еще в V в. Например, число 1021 записывалось словами «Луна – дыра – крылья – Луна». Одно из названий нуля – «шунья» (пустое) стало впоследствии основным. Когда в VIII в. Индийские сиддханты переводили на арабский язык, слово «шунья» перевели арабским словом «сыфр», имеющим то же значение. Слово «сыфр» при переводе арабских сочинений на латынь было оставлено без перевода в виде ciffra, откуда происходит французское и английское название нуля zero, немецкое слово ziffer и наше слово «цифра», также первоначально означавшее нуль.
4.2.Вклад мусульман в развитие нашей системы счисления.

Цифры, или символы наших чисел, имеют арабское происхождение, хотя они были, заимствованы арабской культуры в Индии.

Современные цифры (1, 2, 3, 4…) не совсем точно воспроизводят индийские, поскольку арабы их слегка видоизменили, приспосабливая к своему письму, но исходя из их влияния и авторитета их культуры, современные числовые символы называют арабскими цифрами, хотя арабы лишь передали в Европу способ записи чисел, разработанный индусами. « Девять индусских знаков следующие: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. С помощью этих знаков и знака 0, который называется по-арабски:«сифр», можно написать какое угодно число». (с. №9,10)

Арабы принесли к нам способ записи чисел, которым мы сейчас пользуемся, из Индии. Однако в самой Индии до последнего времени цифры выглядели совсем не так, как в Европе.

А цифры, которыми сейчас пользуются арабы, тоже не очень похожи на европейские.
V. Современная система счисления.

Считать или, говоря ученым языком, делать количественную оценку, люди начали с тех пор, как научились отделять себя и своих сородичей от окружающего мира. Для правильного информирования своего племени требовалось сообщить как о

численности преследуемой добычи, так и о многом другом – например, количестве людей в соседнем племени.
   Прошло очень много времени, прежде чем люди освоились с большими числами. Они шли от единицы к большим числам очень медленно.

С развитием человечества отдельных знаков (единиц) стало не хватать. Земледельцу надо было подсчитать урожай, скотоводу - животных, строителю - количество бревен... Умение считать и производить операции с числами высоко ценилось.
    Ведя счет различных предметов, люди постепенно пришли к выводу, что удобнее считать не единицами, а группами единиц. Такой счет сохранился и до нашего времени (например, счет предметов парами, тройками, пятерками) и часто применяется и поныне, например, в спорте (в соревнованиях участвуют три пары спортсменов от каждой команды) и т.д. Самые разные народы по-разному называли и обозначали знаки различного количества предметов, что отразилось не только в названиях цифр и чисел, но и в их группировании, образовывая свои собственные системы счисления, другим словом– НУМЕРАЦИИ. Итак, системы счисления - это способы записи (или изображения) чисел. « Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы: позиционные и непозиционные. Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа, называются непозиционными.   В целом все непозиционные нумерации можно разделить на два вида: иероглифические, алфавитные. Первые используют для записи чисел значки разных типов, зная которые, можно составить представление о значении числа. Вторые системы записывают число в виде букв, значения которых соответствуют их месту в алфавите той или иной народности. Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, то есть системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции или порядка) в последовательности цифр, изображающей число. Это значит, что основное значение имеет не столько значение, сколько место цифры (сравните 99000 и 90090). Разумеется, все позиционные системы счисления появились в результате длительного исторического развития непозиционных систем.
Какая у нас система исчисления? (с.№11)

«Наша система исчисления имеет три основных характеристики: она позиционная, аддитивная и десятичная.

- Позиционная, поскольку каждая цифра имеет определенное значение согласнее месту, занимаемое в ряду, выражающем числом: 2 означает две единицы в числе 52 и двадцать единиц в числе 25.

- Аддитивная, или слагаемая, поскольку значение одного числа равно сумме значений цифр, образующих его. Так, значение 52 равно сумме 50+2.

- Десятичная, поскольку каждый раз, одна цифра смещается на одно место влево в написании числа, его значение увеличивается в десять раз. Так, число 2, имеющее значение две единицы, превращается в двадцать единиц в числе 26, поскольку перемещается на одно место влево. (Что? Зачем? Почему? с.276)

VІ. Сравнение записи цифр у разных народов.



Изучая запись цифр разных народов, я заметила, что цифры многих народов очень похожи: цифры 1.2.3,4 у всех приведенных народов пишутся, используя пальцы рук. Наиболее простыми были цифры в Месопотамии, а самое сложное написание- это арабские цифры, но мы привыкли пользоваться ими и нам они кажутся самыми легкими и простыми. Наши цифры прошли в своем развитии большой путь. Изучив много материала, я пришла к выводу, что арабскими цифрами пользуется много людей не только потому, что с помощью них можно записать любое число, но еще и потому, что они удобны при сложении, вычитании, умножении и делении.
VІІ.Заключение.

Искусство счета развивалось с развитием человечества. Способов счета было придумано немало: зарубки на палке, узлы на веревке, складывание в кучу камешков. Но носить все это с собой неудобно. И тут на помощь приходят пальцы рук. А если предметов больше 10? Тогда люди придумали десятичную систему счисления, которой мы пользуемся до сих пор. «Пальцевое» происхождение десятичной системы счисления подтверждается формой римских цифр: цифра пять (V) - ладонь с оттопыренным большим пальцем, а цифра десять (Х)- две скрещенные руки. «Возможно, что, если бы люди имели одиннадцать пальцев, была бы принята одиннадцатиричная система счисления». Лебег А.(«Школьникам о математике». С.22.)

С помощью такой системы счисления можно было записать любое число без особых усилий, поэтому эту систему счисления приняли многие народы и пользуются ею до сих пор. Она получила название арабской, хотя ее придумали в Индии. Но именно арабы ее преобразовали и разнесли по всему миру.

Данный реферат прочитали все ученики нашего класса и сказали, что теперь им значительно интереснее стало заниматься математикой, а любимой темой нашего класса стала нумерация, что подтверждают результаты теста. (с. №12,13)

Итоги тестирования.

До изучения истории возникновения цифр оценки:

«5»-нет; «4»-1 ч.; «3»-2 ч.;«2»-2 ч..

После изучения истории возникновения цифр оценки:

«5»-2 ч.; «4»-2 ч.; «3»-2 ч.;«2»-нет.

В результате своего исследования я пришла к выводу, что предмет становится понятнее и интереснее, если знать историю его возникновения, учить его, использую сказочные истории и интересные задания. Эта тема стала мне очень интересна и я продолжу в дальнейшем ее изучение.
Список литературы.
« Я познаю мир». Детская энциклопедия. Москва, «Астрель», 2004 год.

«Что? Зачем? Почему?». Большая книга вопросов и ответов. Перевод с испанского

К. Мишиной, А. Зыковой, Москва, Эксмо, 2006 год.

«Школьникам о математике и математиках». Составитель Лиман М.М Москва,Просвещение. 1989 год. «

«Математическая шкатулка» Ф.Ф. Нагибин. Е.С. Канин. Москва, «Просвещение», 1984 год.

«Занимательная арифметика» Перельман Я.И.Москва, Триада-Литера,1994 год.

«Что такое? Кто такой». Москва. Педагогика, 1990 год.

Приложение
Тест.
1.Как возникли цифры?

а) использую пальцы рук; б) использую камешки; в) используя особые знания.

2.Цифры каких народов вы знаете?

3.Почему римская цифра пять пишется так- V, а десять так - Х?

4.С цифрами каких народов схоже написание римских цифр?

5.Почему наши цифры называются арабскими?

а) их придумали арабы; б) их принесли арабы из Индии. 6.Запиши число двадцать тысяч пять цифрами:

а) 205; б) 2005; в) 20 005.

7. Как прочитать число 700070?

а) семьдесят тысяч семь; б) семьдесят тысяч семьдесят; в) семьсот тысяч семьдесят. 8.Сколько десятков в числе 6000?

А) 6; б) 60; в) 600. 9.Какая цифра стоит в разряде десятков в числе 6780?

а) 6 б) 7; в) 8; г) 0

10. Во сколько 56000 больше 56?

а) в 100; б) в 1000; в) в 10.

11.Сколько получится 345 ·100?

а) 3450 б) 34500 в) 34500

12. Запиши сумму разрядных слагаемых числа 4568.

А) 4568=400+568

б) 4568=40+ 68

в) 4568=4000+68

г) 4568= 4000+500+60+8

13. Какая у нас система счисления?

А) непозиционная

Б) позиционная

В) аддитивная (слагаемая)

Г) десятичная

Сказка «Как возникли цифры?»
В давние-давние времена жил-был злой колдун Цифирин. Он не хотел, чтобы люди стали умнее, поэтому он всегда вредил им. Однажды прилетел колдун в страну Арифметику, которая славилась своими мудрецами и учеными. Видит он, на полянке играют два мальчика.

-Такие большие дети, а все играют вместо того, чтобы учиться. Видно зря говорят, что в этой стране даже дети умные. Вот хорошо. И мне не надо колдовать, отдохну лучше. Во что это они играют? Чертят что-то на земле… Подкрадусь, послушаю.

А дети играли в школу: старший- учил младшего арифметике.

-Смотри :одно яблоко записываем так І , два- ІІ, три- ІІІ. Так легче записать числа при счете.

-А зачем надо уметь считать?

-Если человек не умеет считать, он не сможет ничего продать или купить.

-Подумаешь…

-Он не сможет даже узнать, сколько зайцев или куропаток подстрелил. Или не сумеет разделить поровну сладости между детьми.

-Это не честно!

-Вот и учись считать, чтобы все было честно.

-Да понял я. понял все. Смотри: один –І, два- ІІ, три -,ІІІ четыре- ІІІІ, пять- ІІІІІ, шесть- ІІІІІІ, семь- ІІІІІІІ и т. д.

- Если ты так будешь записывать все числа, то тебе придется писать письмо, использую очень много дощечек, их не сможет унести даже самый сильный почтальон.

-Как же их надо записывать?

-Самое главное запомни: на одной руке пять пальцев, на другой столько же. Всего их десять.

-Я так и говорил.

-Не торопись, послушай еще раз: один –І, два- ІІ, три - ІІІ, пять- V(целая рука. где все пальцы прижаты друг к другу, а большой палец отодвинут в сторону).

-А четыре?

-Загни один палец. Что получилось?

-Пять без одного.

-Молодчина! Так и пишем пять (V), а слева приписываем І, это значит один убираем.

-Тогда шесть- это пять и еще один, да?

-Конечно, какой ты догадливый! Шесть -VІ, семь -VІІ, восемь -VІІІ.

-Знаю, знаю. Девять - это десять без одного. А как же написать десять?

-Десять -это две руки, вот так: Х. Понял?

-Да. Теперь я смогу записать любое число, не правда?

- Да, любое число до двадцати.

-Вот тут что происходит, тут даже такие малыши умеют считать. Правду сказали мне, что в этой стране все умные. Скоро они станут умнее меня,- подумал Цифирин-

Нужно что-то делать.

И Цифирин заставил людей забыть все цифры своим колдовством. Прошло много лет. Вернулся Цифирин и увидел, что люди новые придумали цифры, очень похожие на прежние. ( рис.1) Разозлился Цифирин:

- Ах так, ну погодите, я так наколдую, что вы и не вспомните даже очертания своих цифр.

И опять люди забыли цифры. Прошло еще много лет. Вернулся Цифирин и что он видит? У людей новые цифры, совсем не похожие на прежние. Люди называли их арабскими и они распространились на многие страны. Задумался Цифирин:

-Видно ничего им не помешает… Как бы мне совсем не поглупеть со своим колдовством. Придется мне тоже выучить цифры. И Цифирин пошел в школу.