Решение задач, контрольные работы

Сопромат - решение задач, контрольные работы.

Задача 9.

Дано : L=2.6 м ; a/L=0.35 ; Q=100 кН ; P=1.8 кН ; e=0.034 м ; № двутавра 20 ; d=0.017 м ; L_s=1.4 м ; n=600 об/мин ; [σ]=280 МПа.

Требуется определить : 1. Статическое удлинение опорного стержня ;

2. Статическое перемещение и статическое напряжение сечения балки, где находится электромотор ;

3. Частоту вынужденных колебаний системы ;

4. Коэффициент нарастания колебаний в случаях жёсткого опирания балки и упругого опирания ;

5. Найти закон изменения во времени прогиба балки и максимального нормального напряжения в сечении, где находится электромотор при условии установившихся вынужденных колебаний ;

6. Построить график этих функций и определить максимальный динамический коэффициент ;

7. Проверить прочность балки и стержня при допускаемом напряжении [σ]=280 МПа.

Решение.



a=0.35L=0.35×2.6=0.91 м.

По таблице сортамента определим геометрические характеристики двутавра № 20 :

J_x=1840 см⁴ ; W_x=184 см³ ; F=26.8 см²

1. Найдём статическое удлинение опорного стержня.

Из уравнений равновесия статики Σm_A=0 и Σm_B=0 найдём опорные реакции в балке AB.

Σm_A=0 ; N_BL-Qa=0 , откуда N_B=Qa/L=100×0.91/2.6=35 кН

Σm_B=0 ; -R_AL+Q(L-a)=0 , откуда R_A=Q(L-a)/L=100×(2.6-0.91)/2.6=65 кН

Найдём вертикальное перемещение опоры B за счёт удлинения подвески при растяжении. Конец балки B переместится (точка B₁) на величину :

Y_B=N_BL_s/(EF) , где F – площадь подвески ; E=2×10⁵ МПа=2×10⁸ кН/м²

F=πd²/4=3.14×0.017²/4=0.0002 м²

Y_B=35×1.4/(2×10⁸×0.0002)=0.0012 м=1.2 мм.


2. Статическое перемещение и статическое напряжение сечения балки, где находится электромотор.

Определим статический прогиб в точке «С» балки AB при условии, что опора B является жёсткой.

Построим эпюру M_Q изгибающих моментов от заданной нагрузки.

Изобразим балку AB , нагруженной единичной силой P=1 в сечении С.

Находим реакции опор.

Σm_B=0 ; -R_AL+P(L-a)=0 , откуда R_A=(L-a)/L=(2.6-0.91)/2.6=0.65

Σm_A=0 ; R_BL-Pa=0 , откуда R_B=a/L=0.91/2.6=0.35

Строим эпюру изгибающих моментов M_P=1 от единичной нагрузки.

M_C=R_Aa=0.65×0.91=0.59

Используя правило Верещагина, найдём перемещение в сечении «С»

Y^ст_С==

=

=0.004 м=4 мм

Статическое напряжение в сечении «С» балки.

σ^с_ст=161×10⁶ Па=161 МПа.

Вычислим величину полного перемещения «С» балки при учёте удлинения подвески по формуле

Y_полн(с) =Y^ст_С+Y^ст_{С(B )}=Y^ст_С+Y^ст_Ba/L=0.004+0.0012×0.91/2.6=0.004 м.


3. Найдём частоту вынужденных колебаний системы.

Находим частоту собственных колебаний :

при жёстком опирании

ω₁==49.5 1/с

при упругом опирании

ω₂==49.5 1/с

Вертикальная составляющая центробежной силы вызывает поперечные колебания балки в вертикальной плоскости с частотой возмущающей силы.

Θ=πn/30=3.14×600/30=62.8 1/с.

4. Найдём коэффициент нарастания колебаний в случаях жёсткого опирания балки и упругого опирания.

Коэффициент нарастания колебаний при жёстком опирании.

β₁==1.6

Коэффициент нарастания колебаний при упругом опирании.

β₂==1.6

5. Найдём закон изменения во времени прогиба балки и максимального нормального напряжения в сечении, где находиться электромотор.

Находим амплитудное значение инерционной силы :

P₀=Pθ²e/g=×62.8²×0.034=25 кН

Закон изменения во времени прогиба балки в месте, где находится электромотор, при жёстком опирании :

ν₁(t)=ν_Q1 м.

при упругом опирании

ν₂(t)=ν_Q2 м.

Период вынужденных колебаний T=2π/θ=2×3.14/62.8=0.1 c

Закон изменения во времени максимального напряжения при изгибе балки в сечении С :

при жёстком опирании :

σ₁(t)=σ_Q

МПа.

при упругом опирании

σ₂(t)=161×(1+0.4sin62.8t) МПа.

6. Построим графики этих функций и определим максимальный динамический коэффициент.

Для построения графика ν(t) вычисления проводим в табличной форме.

ν(t)=0.004×(1+0.4sin62.8t) м.

t, c	sin62.8t	0.4sin62.8t	ν1, м
0	0	0	0.004
0.025	1	0.4	0.006
0.05	0	0	0.4
0.075	-1	-0.4	0.002
0.1	0	0	0.4

Для построения графика σ(t) вычисления проводим в табличной форме.

σ₁(t)= 161×(1+0.4sin62.8t) МПа.

t, c	sin62.8t	0.4sin62.8t	σ(t), МПа
0	0	0	161
0.025	1	0.4	225
0.05	0	0	161
0.075	-1	-0.4	97
0.1	0	0	161

Коэффициент динамичности

К_Д=1+P₀β/Q=1+25×1.6/100=1.4

Найдём максимальное напряжение в сечении, где находится электромотор :

σ_max=σ_стК_Д=161×1.4=225 МПа.

7. Проверим прочность балки и стержня при допускаемом напряжении [σ]=280 МПа.

Максимальные напряжения в сечении балки : σ_max=225 МПа<[σ]=280 МПа.

Условие прочности соблюдается, причём недонапряжение составляет 20%.

δ==0.2

Максимальное напряжение в сечении стержня :

σ_max=N_B/F=35×10³/0.0002=175×10⁶ Па=175 МПа<[σ]=280 МПа.

Условие прочности соблюдается.

Как видно из расчёта величина прогиба ν и нормальные напряжения σ в сечении балки, где установлен электромотор, оказались одинаковыми, как в случае жёсткого опирания балки, так и в случае упругого опирания балки. Причём при разгоне ротора от нуля до расчётной частоты система проходит момент резонанса (ω<θ ).
Помощь на экзамене онлайн.